狄利克雷函数

狄利克雷函数

‌狄利克雷函数的性质：定义域与值域：狄利克雷函数定义在整个实数域R上，其值域为{0,1}。当自变量x为有理数时，函数值为1；当x为无理数时，函数值为0。‌奇偶性：狄利克雷函数是一个偶函数，因为对于任意实数x，如果x是有理数，那么-x也是有理数，函数值相同；如果x是无理数，那么-x也是无理数，函数值也相同。‌连续性与可导性：狄利克雷函数处处不连续，处处极限不存在，且处处不可导。周期性：狄利克雷函数以任意正有理数为其周期，因此它没有最小正周期。‌可积性：狄利克雷函数在任何区间内都不可黎曼积分，但在单位区间上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0。‌狄利克雷函数的图像*：狄利克雷函数的图像在宏观上看起来像是两条在y=0和y=1之间来回波动的直线，但实际上由于实数域中有理数和无理数的密集性，这两条直线在微观上充满了许多的小洞，因此无法真正画出狄利克雷函数的连续图像。‌狄利克雷函数的值域*：狄利克雷函数的值域为{0,1}。当自变量为有理数时，函数值为1；当自变量为无理数时，函数值为0。狄利克雷函数是否可积*：狄利克雷函数在任何区间内都不可黎曼积分，但在单位区间上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0。